解説

右図．に示すように質量Ｍの剛体の振り子を角度θで振らせたときの運動方程式を求める。ただ
し、支点Ｏの摩擦や空気の抵抗は無視する。
剛体の力学（有馬朗人　基礎物理学　上　Ｐ９１，原　康夫　物理学通論T　Ｐ１３５参照）に

よれば固定軸のまわりの回転においては
（慣性モーメント）×（角加速度）＝力のモーメント
の次のような関係が成り立つ。
（１）
ここでＩは点Ｏのまわりの慣性モーメント
(moment of inertea),
ｄ2θ/ｄｔ2は角速度、ｇは重力の加速度、ｈは支点
Ｏと重心Ｇとの距離である。今θが充分小さいとき
には（１）式の右辺のsinθはsinθ≒θと近似され、
（２）式で表され、その周期T0が求まる。
(2)
(3)

しかし、振れ角が小さくなければ、式(1)は単振動の式ではなく、かんたんには解けない非線型振動
の方程式である。この場合の周期Ｔは｜θ｜の最大値、すなわち、角度振幅をθ0とすれば、次
式で表される。ただしθ0の４乗以上の項が無視できる程度に振幅が小さい場合である。
(4)
従って式(4)から
(5)
である。

Bordaの振り子は支持具Ｓに細い
針金をつけ、反対の端に半径ｒ、質量
Ｍの重い金属球をつけて鉛直につり下
げ振らせるものである。右図からわか
るように、支持具Ｓのナイフエッジを
支点として振動するので、式(4)のｈは
、h=l+rとなる。ただしｌはナイフエッ
ジから金属球の取りつけ点までの距離
である。一般に半径ｒ、質量Ｍの球の
中心を通る軸のまわりの慣性モーメン
トは2/5Ｍｒ2であり、中心を通る軸に
平行でｈだけ離れた軸のまわりの慣性
モーメントIとの間には
(6)
の関係がある。（基礎物理学Ｐ９５参
照）
h=l+rとして(6)を(5)に代入すると

(7)
となり、周期Ｔを測定し、ｌ、ｒ、θ0を測れば重力の加速度ｇが得られる。


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