イントロ

目的は, 下記のような積分をやることです .

ちょうど x が y と等しくなるところで発散するわけですが, 答えは π y になると論文にありました . 結果を確認をしたいと思って, Mathematicaでいろいろとやってみます   .

一般的に, 文字式を含む積分は, 下記のように可能です . (x + a)^2を x で積分してみます .

Integrate[(x + a)^2, x]

1/3 (a + x)^3

定積分であってもお構いなしです .

Integrate[(x + a)^2, {x, -1, 1}]

2/3 + 2 a^2

ただし, 積分する上でパラメ - タ - に適当な仮定が必要となる場合には, 下記のような返事が返ってきます .

Integrate[1/(x + a), {x, -1, 1}]

If[Re[a] ≥1 || Re[a] ≤ -1 || Im[a] ≠0, -Log[-1 + a] + Log[1 + a], Integrate[1/(a + x), {x, -1, 1}, Assumptions→ ! (Re[a] ≥1 || Re[a] ≤ -1 || Im[a] ≠0)]]

ここで, || は論理和で, ! は否定です.といっても私自身論理演算など自身がありません.
とりあえず Re[a]≥1は a の実数部が1より大きい場合という条件です.
Im[a]≠0 は虚数部が  ...  です(くどいので略).  

これらの条件が成り立つならば,積分は-Log[-1+a]+Log[1+a] になるし,そうでなければ.....
というのが,後半部なのですが,見ると何も変化していません. 入力したままのものを結果として返していますが,
これはたぶん, 計算できませんという返事です.

出力で使われている関数を補足をすると, Re[ ] は数値の次数部を取り出す命令で, たとえば下記のような複素数 z を定義してRe[ ] を用いると

z = 2 + 3 I ;

Re[z]

2

実数部 2 を返します . 論理に関しては, 下記のようなセルを評価してみると,

Re[z] >=1

True

これは条件が成立している事を示していて, もし成り立たなかったら, False を返します . そこで a の値に ( a ≥ 1) という範囲を仮定して

計算をして見ると,

Integrate[1/(x + a), {x, -1, 1}, Assumptions→ (a≥1)]

-Log[-1 + a] + Log[1 + a]

手短な答えが得られます .

では簡単に, 目的の式の不定積分をやってみます .

Integrate[Sqrt[1 - x^2]/(y - x), x, Assumptions→ (-1<y<1)]

(-(1 - x^2)^(1/2) (1 - y^2)^(1/2) + y (1 - y^2)^(1/2) ArcSin[x] - (-1 + y^2) Log[(-2 + 2 x y - 2 (1 - x^2)^(1/2) (1 - y^2)^(1/2))/((x - y) (1 - y^2)^(3/2))])/(1 - y^2)^(1/2)

何か良くわからないけど, 計算結果を返します . それでは次に定積分をします .

Integrate[Sqrt[1 - x^2]/(y - x), {x, -1, 1}, Assumptions→ (-1<y<1)]

2 Sqrt[1 - x ] Integrate :: idiv : ------------ の積分は {-1, 1} で収束しません． 詳細 -x + y

Integrate[(1 - x^2)^(1/2)/(-x + y), {x, -1, 1}, Assumptions→ -1<y<1]

やはり, だめでしたね .

Created by Mathematica  (May 7, 2007) Valid XHTML 1.1!